Смысл деления

Сижу жду жену возле поликлиники. Решил замутить темку))
На старом форуме была тема что такое возведение в степень. Я решил пойти ещё дальше))
В конце летних каникул усадил пацана вспомнить основы арифметики перед началом учебного года. С делением натуральных чисел всё понятно. Если 20 конфет разделить на 5 ребят, то каждому достанется по 4 конфеты. Смысл деления- какое то число делим на какое то количество одинаковых частей. Но вот что значит разделить 20 конфет на 3/5 я сходу не смог объяснить и почему деление надо заменять умножением на обратную дробь тоже.
Стал вопрос как понять что есть деление на простую дробь. Я даже ютуберов посмотрел :Трушина, Савватеева других. Не помогло.
Через пару дней пришло такое понимание. Оказывается, что арифметическая операция деление совсем и не деление))
Запись 20:(3/5) означает утверждение, что 20 единиц делимого приходится или содержится в 3/5 частях делителя. Частное это всегда сколько делимого приходится или содержится в единице делителя.
Пример 300 : (3/5) = 500 можно прочитать как утверждение: 300 г жидкости приходится или содержится в 3/5л. "Ровно " - значит что на единицу объема будет приходиться 500 г жидкости.

0 : а = 0 означает утверждение, что нулевое значение делимого содержится в какой то части делителя а. Поэтому и в единичном значении а (это смысл частного) тоже содержится ноль.
Выражение- утверждение 0 : а всегда истина и имеет решение с единственным результатом.

Выражение-утверждение 0 : 0 тоже истина и означает что на нулевое значение делителя приходится нулевое значение делимого. А сколько в таком случае делимого придётся на единицу делителя (это смысл частного)? Да сколько угодно. Из такого утверждения нельзя сделать даже предположения.
Ну и деление на ноль. Выражение-утверждение а : 0 всегда ложь. В нулевой части делителя не может что то содержаться. Поэтому находить сколько делимого приходится на единицу делителя в этом случае лишено смысла.
А как бы вы объяснили на пальцах смысл деления (на дробь) ?

Не, знаю, в меня с юности вдолбили, что за математическими объектами и операциями не стоит никакого смысла - есть только их абстрактные определения. То, что мы называем смыслом - это уже применение математических моделей к решению технических задач. Математика же как таковая абстрактна.

Например, такое определение даёт чёткое и полное понимание что такое деление: «Операция, обратная для операции умножения в коммутативной группе G , называется делением». Причём это полное определение - гораздо более ёмкое и всеобъемлющее, чем примеры с яблоками, т.к. оно применимо к любой коммутативной группе, а не только, скажем, к вещественным числам.

1 лайк

Эт ещё не коснулись мнимых чисел. И как их на линейной шкале физически расположить)
А вообще, деление на дробь само по себе уже не имеет физического смысла, как мне кажется.

Нам до мнимых еще далеко… 6 класс только. Хотя б элементарщину донести. Мне самому нравится математика, только я в ней ни бум- бум(( поиходится школьный курс вспоминать.

Я б простым языком сказал, что деление определяет, во сколько раз в делимом помещается
делителей.
В 300мл молока 500мл помещается 3/5 раза)

С решением задач тоже не очень. Но, если мой один из успеваемых в классе, боюсь даже подумать об уровне остальных. Может у меня требования завышены… Другие вон и не переживают…

Не имеет физического смысла вопрос о физическом смысле того, что само по себе не имеет физического смысла.

1 лайк

предлагаете это для 6-го класса?

А

«Операция, обратная для операции деления в коммутативной группе G , называется умножением»

Круг замкнулся )))))

Нет. Пытаюсь объяснить, что не всегда и не все математические понятия в принципе можно преподать через “смысл”. Часто его просто нет.

Это не так.

А потому, не замкнулся :slight_smile:

Это пенсии что ли? Школьнику ещё бесконечно далеко до неё, как Ахиллесу до черепахи.

2 лайка

вариант для 6-го класса.

Есть линейка, на ней отмечено 20 см.
1 см можно разбить на 5 частей, тогда 1= 5/5, а 3/5 - величина меньшая единицы, т.е. взяли 3 части из 5 и получили новую мерку.
дальше смотрим сколько раз эта мерка уложится в 20 см.

и как бы сразу должно быть понятно, что раз мерка меньше исходной базы в 1 см. то в новой базе штук в 20 см. будет больше.

В общем,

Я тут единственный матшкольник и спрашивать нужно меня. :wink:
Рассуждения такое:

  1. разбираем сперва вот это:
    a / (b * c) = a / b / c
    причем на нормальных числах:
    30 / (2 * 3) = 30 / 6 = 5 = 15 / 3 = 30 / 2 / 3
  2. говорим, что хотим обобщить понятие “деления” для всего, значит такой закон должен работать всегда.
  3. разбираем, что такое 1 / (1 / N), то есть совершенно РАЗУМНОЕ понятие, сколько в единице третьих частей? - Три по названию, А двенадцатых? - 12, конечно!
  4. смотрим в 1. и говорим, что:
    a / (n/m) = a * (1 / (1 / m) / n) = a * (m/n) = a*m/n
  5. ффсё! Это полное объяснение. “Физический” смысл НУЖНО найти лишь для деления единицы на одну энную. Он очевиден, а остальное - просто расстановка скобок, для единообразия с “нормальными” числами.

Не нужно пытаться найти смысл в делении на три пятых, то есть смысл в делении на одну пятую, так понятнее стало? А на три пятых - делим по очереди.

2 лайка

" Все изумлённо раскрыли рты, не в силах произнести даже звук…")

1 лайк

Эт для тебя разумное понятие), а мне въезжать надо.
N = N / 1 (делим числитель и знаменатель на N) = 1 / (1 / N) вот так мне понятно.
Пытаюсь въехать в п.4 - почему ты заменил деление умножением.

Ну вот и понеслось )))

:thinking: Один таракан и слАживать числа уже не получится(тайм код 2:00).

Не “таракан”, а “баг”.

Справедливости ради местного разлива не подойдёт - нужен, минимум, мадагаскарский(судя по звуку) .